复变函数魏尔斯特拉斯定理（如何证明魏尔斯特拉斯函数处处连续但处处不可微）

复变函数魏尔斯特拉斯定理？

(1)引理的证明：

我们来构造这个子列设有实数列，定义集合集合中的每个元素，都比其后的所有元素都大。

如果X中有无限个元素，在其中取下标递增的一个数列，那么这个数列是的子列，并且单调递减，构造完毕。

如果X中元素个数有限，那么如果设N为其中最大的下标，对任意的an，它之后至少会有一个元素大于它。

于是取k0=N+1，为第一个大于的元素的下标，为第一个大于的元素的下标，依此类推，就可以得到的一个子列，它是单调递增的，构造完毕。

综上可得，有界的实数列必然包含单调的子列。

(2)定理的证明：

先考虑n=1的情况。

对于一个有界闭集中的实数列，取它的一个单调子列。

不妨设这个子列单调递增，由于数列有上界，这个子列必然收敛。

又因为集合是闭集，收敛的极限必然在集合中，于是我们找到了收敛的子列，因此集合是序列紧致的。

对于，证明的思路是取多次子列。

设为一个有界序列，则n个实数列都是有界数列。

于是存在的子列使得收敛。

但是仍是有界数列，因而存在子列使得也收敛（注意这里必然是收敛的）。

在进行类似的n次操作后，我们就可以得到一个子列，使得都收敛，也就是说存在子列收敛。

由于集合是闭集，收敛的极限必然在集合中，因此集合是序列紧致的，证毕。

如何证明魏尔斯特拉斯函数处处连续但处处不可微？

级数证明这个函数处处连续并不困难。

由于无穷级数的每一个函数项的绝对值都小于常数，而正项级数是收敛的。

由比较审敛法可以知道原级数一致收敛。

因此，由于每一个函数项都是上的连续函数，级数和也是上的连续函数。

下面证明函数处处不可导：

对一个给定的点，证明的思路是找出趋于的两组不同的数列和，使得

:

这与函数可导的定义矛盾，于是证明完毕。

康托尔集合论的故事？

康托尔凭着探险家的勇气闯入这个新奇世界，发现了许多令优秀数学家也难以置信的事情。

康托尔1845年出生，1884年发表奠基性著作《一般集合论基础》，也就在这一年患精神病，以后病情时好时坏，1918年逝世在精神病院。

极限是谁发明的？

极限是由魏尔斯特拉斯提出的。

极限主要是作为微积分的理论基础存在的。

魏尔斯特拉斯这种思想由来已久,现代意义上的极限是由魏尔斯特拉斯给出的.极限主要是作为微积分的理论基础存在的.

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