收敛半径是什么（三角函数的收敛半径）

收敛半径是什么？

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大的数，使得在|z-a|<r时幂级数收敛，在|z-a|>r时幂级数发散。

[1]

具体来说，当z和a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。

收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。

在|z-a|=r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：

对某些z可能收敛，对其它的则发散。

如果幂级数对所有复数z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

三角函数的收敛半径？

收敛半径r是一个非负的实数或无穷大的数，使得在|z-a|<r时幂级数收敛，在|z-a|>r时幂级数发散。

[1]

具体来说，当z和a足够接近时，幂级数就会收敛，反之则可能发散。

收敛半径就是收敛区域和发散区域的分界线。

在|z-a|=r的收敛圆上，幂级数的敛散性是不确定的：

对某些z可能收敛，对其它的则发散。

如果幂级数对所有复数z都收敛，那么说收敛半径是无穷大。

收敛半径怎么求呢？

根据达朗贝尔审敛法，收敛半径R满足：

如果幂级数满足，则：

ρ是正实数时，R=1/ρ；ρ=0时，R=+∞；ρ=+∞时，R=0。

根据根值审敛法，则有柯西-阿达马公式。

或者，复分析中的收敛半径将一个收敛半径是正数的幂级数的变量取为复数，就可以定义一个全纯函数。

1收敛圆上的敛散性

如果幂级数在a附近可展，并且收敛半径为r，那么所有满足|za|=r的点的集合（收敛圆盘的边界）是一个圆，称为收敛圆。

幂级数在收敛圆上可能收敛也可能发散。

即使幂级数在收敛圆上收敛，也不一定绝对收敛。

例1：

幂级数的收敛半径是1并在整个收敛圆上收敛。

设h(z)是这个级数对应的函数，那么h(z)是例2中的g(z)除以z后的导数。

h(z)是双对数函数。

例2：

幂级数的收敛半径是1并在整个收敛圆上一致收敛，但是并不在收敛圆上绝对收敛。

2收敛半径一般的推导

用第n+1项除以第n项,整个的绝对值,小于1,解出x(或x-a这决定于你级数的展开)的绝对值小于的值就是收敛半径收敛域就是求使其收敛的所有的点构成的区域。

比如收敛半径是r,求收敛域,就是判断x(或x-a)的对值r时必发散,所以只要判断=r时的两个点是否收敛即可,如过有收敛就把该点并到<r的区域上即得收敛域。

收敛半径指的是半个区间还是一个区间？

收敛半径指的是一个区间。

如何求收敛半径？

求解收敛半径的方法通常是使用根值测试（roottest）或比值测试（ratiotest）。

假设$a_n$是一个数列，收敛半径$R$定义为：

R=\\lim_{n\o\\infty}\\left|\\frac{a_{n}}{a_{n-1}}\ight|=\\lim_{n\o\\infty}\\sqrt[n]{\\left|a_n\ight|}R=n→∞lim∣∣an−1an∣∣=n→∞limn∣an∣

其中第二个等式是根据根值测试得到的。

如果$R=0$，则数列是绝对收敛的；如果$R=\\infty$，则数列是发散的；如果$0<R<\\infty$，则数列是绝对收敛的，并且有以下性质：

当$|x|<R$时，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_nx^n$收敛；

当$|x|>R$时，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_nx^n$发散；

当$|x|=R$时，级数$\\sum_{n=1}^{\\infty}a_nx^n$的敛散性需要单独讨论。

在实际计算中，通常使用以下步骤来确定收敛半径：

使用根值测试或比值测试计算出极限$R$；

根据$R$的大小来判断级数的敛散性。

需要注意的是，这种方法只适用于幂级数或冪級数的情況。

对于其他类型的级数，需要使用其他方法来确定收敛半径。

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